ベクトルの成分[edit]
ベクトルの反変成分（受動的立場：座標系が回転）[edit]
- 座標軸（基底）の変換 R の 逆行列 $R^{-1}$で変換される成分
ベクトルの共変成分（受動的立場：座標系が回転）[edit]
- 座標軸（基底）の変換 R の転置行列 $R^T$で変換される成分
- デカルト座標系の場合は Rの転置行列は Rの逆行列になる．
- デカルト座標系の場合は 共変成分と反変成分は同じになる．
詳細（2次元）[edit]
規定ベクトル ($\vec{e1}$, $\vec{e2}$) の場合．（$\vec{e1}$, $\vec{e2}$ は2次元ベクトル）[edit]
- $A$ = $\begin{pmatrix}
e1_x & e2_x \\
e1_y & e2_y
\end{pmatrix}$
回転行列 （by デカルト座標）[edit]
- $R = \begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ \\
sinθ & cosθ
\end{pmatrix}$
- $P' = R^{-1} P$
- $P = A x$
- $A x' = R^{-1} A x$
- $x' = A^{-1} R^{-1} A x = A^{-1} R^{-1} P$
- $P' = R^{T} P$
- $P = A^{-T} v$
- $A^{-T} v' = R^{T} A^{-T} v$
- $v' = A^{T} R^{T} A^{-T} v = A^{T} R^{T} P$
- 直交座標系では $R^T = R^{-1}$, $R = R^{-T}$ となる．
- $\vec{e1} = (1, 0)$, $\vec{e2} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$
- $A = \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}$
- $A^T = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}$
- $A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
- $g_{ij} = A^T A = \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 1
\end{pmatrix}$
- $P = (2, 1)$, $P$の斜行基底での反変成分 $x$, 共変成分 $v$
- 回転行列 （Rはデカルト座標での行列）
- $θ = 45度$
- $R = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}$
- 反変成分
- $P = A x$
- $x = A^{-1} P = (1, \sqrt{2})$
- 共変成分
- $P = A^{-T} v$
- $v = A^{T} P = (2, \frac{3}{\sqrt{2}})$
- 座標回転後の反変成分
- $P' = R^{-1} P$
- $A x' = R^{-1} A x$
- $x' = A^{-1} R^{-1} A x = A^{-1} R^{-1} P = (2{\sqrt{2}}, -1)$
- 座標回転後の共変成分
- $P' = R^{T} P$
- $A^{-T} v' = R^{T} A^{-T} v$
- $v' = A^{T} R^{T} A^{-T} v = A^{T} R^{T} P =(\frac{3}{\sqrt{2}}, 1)$
ベクトルの種類[edit]
- 通常のベクトルとは違い，座標反転で符号が反転しないベクトル
- 本来はテンソルであるが，3次元の場合は反転を除いてほぼベクトルと同じ動きをする．
- 角運動量ベクトルなど
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