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#author("2025-08-28T04:36:45+00:00","default:iseki","iseki")
#author("2025-08-28T04:37:46+00:00","default:iseki","iseki")
* ベクトル

** ベクトルの成分
- あらゆるベクトルは，反変成分と共変成分を持つ
- よく ''反変ベクトル'' とか ''共変ベクトル'' とかの記述を見かけるが，そんなベクトルは存在しない！
- 存在するのは，ベクトルの ''反変成分'' と ''共変成分''
- あらゆるベクトルは，''反変成分'' と ''共変成分'' を持つ
- よく 反変ベクトル とか 共変ベクトル とかの記述を見かけるが，そんなベクトルは存在しない！
- 存在するのはベクトルの ''反変成分'' と ''共変成分''

- 習慣的に 座標（位置ベクトル）は反変成分で書く場合が多い．
-- だからと言って，反変ベクトルというわけではない． 座標（位置ベクトル）を共変成分で書いても全然問題ない．
-- だからと言って反変ベクトルというわけではない． 座標（位置ベクトル）を共変成分で書いても理論上全然問題ない．

*** ベクトルの反変成分（受動的立場：座標系が回転）
- 座標軸（基底）の変換 $R$ の ''逆行列 $R^{-1}$'' で変換される成分

*** ベクトルの共変成分（受動的立場：座標系が回転）
- 座標軸（基底）の変換 $R$ の''転置行列 $R^T$'' で変換される成分
- デカルト座標系の場合は $R$ の転置行列 $R^T$ は逆行列 $R^{-1}$ に一致する．
-- 従ってデカルト座標系の場合は 共変成分と反変成分は同じになる．

*** 一般論（2次元）（受動的立場：座標系が回転）
**** 規定ベクトル ($\vec{e1}$, $\vec{e2}$) の場合．（$\vec{e1}$, $\vec{e2}$ は2次元ベクトル）

- $A$ = $\begin{pmatrix}
e1_x & e2_x \\
e1_y & e2_y
\end{pmatrix}$

- $g_{ij}$ = $A^T A$

**** 回転行列　（by デカルト座標）
- $R = \begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ \\
sinθ & cosθ
\end{pmatrix}$

**** 反変成分
- $P' = R^{-1} P$
- $P = A x$

- $A x' = R^{-1} A x$
- $x' = A^{-1} R^{-1} A x = A^{-1} R^{-1} P$

**** 共変成分
- $P' = R^{T} P$
- $P = A^{-T} v$

- $A^{-T} v' = R^{T} A^{-T} v$
- $v' = A^{T} R^{T} A^{-T} v = A^{T} R^{T} P$

- 直交座標系では $R^T = R^{-1}$, $R = R^{-T}$ となる． 
*** 例：斜行座標 （受動的立場：座標系が回転）
- $\vec{e1} = (1, 0)$, $\vec{e2} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

- $A = \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}$

- $A^T = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}$

- $A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & \sqrt{2}
\end{pmatrix}$     

- $g_{ij} = A^T A = \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 1
\end{pmatrix}$

**** P(2,1)
- $P = (2, 1)$, $P$の斜行基底での反変成分 $x$, 共変成分 $v$
- 回転行列　（Rはデカルト座標での行列）
-- $θ = 45度$
-- $R = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}$



- 反変成分
-- $P = A x$
-- $x = A^{-1} P = (1, \sqrt{2})$




- 共変成分
-- $P = A^{-T} v$
-- $v = A^{T} P = (2, \frac{3}{\sqrt{2}})$

**** 座標回転後
- 座標回転後の反変成分
-- $P' = R^{-1} P$
-- $A x' = R^{-1} A x$
-- $x' = A^{-1} R^{-1} A x = A^{-1} R^{-1} P = (2{\sqrt{2}}, -1)$


- 座標回転後の共変成分
-- $P' = R^{T} P$
-- $A^{-T} v' = R^{T} A^{-T} v$
-- $v' = A^{T} R^{T} A^{-T} v = A^{T} R^{T} P =(\frac{3}{\sqrt{2}}, 1)$
** ベクトルの種類
*** 極性ベクトル
- 通常のベクトル

*** 軸性ベクトル
- 通常のベクトルとは違い，座標反転で符号が反転しないベクトル
- ''本来はテンソルである''が，3次元の場合は反転を除いてほぼベクトルと同じ動きをする．
- 角運動量ベクトルなど